Với a = 1; b = -1, hàm số trở thành: y = x 3 + x 2  – x + 1.

- Tập xác định : D = R.

- Sự biến thiên :

+ Bảng biến thiên :

Kết luận :

Hàm số đồng biến trên (-∞ ; -1) và 

Hàm số nghịch biến trên 

Hàm số đạt cực đại tại x = -1 ; yCĐ = 2.

Hàm số đạt cực tiểu tại 

- Đồ thị :

* Hàm số y = ax + b

Trường hợp a > 0

1. TXĐ: D = R.

2. Sự biến thiên.

y’ = a > 0. Vậy hàm số đồng biến trên toàn bộ R.

Trường hợp a < 0

1. TXĐ: D = R.

2. Sự biến thiên.

y’ = a < 0. Vậy hàm số đồng biến trên toàn bộ R.

* Hàm số y = ax2 + bx + c

Trường hợp a > 0

1. TXĐ: D = R.

2. Sự biến thiên.

y’ = 2ax + b. Cho y’ = 0 thì x = - b/2a.

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞,- b/2a).

Hàm số đồng biến trên khoảng [- b/2a, +∞].

Hàm số đạt cực tiểu bằng - Δ/4a tại x = - b/2a .

3. Vẽ đồ thị:

Trường hợp a < 0

1. TXĐ: D = R.

2. Sự biến thiên.

y’ = 2ax + b. Cho y’ = 0 thì x = - b/2a.

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞,- b/2a).

Hàm số nghịch biến trên khoảng [- b/2a, +∞].

Hàm số đạt cực đại bằng - Δ/4a tại x = - b/2a .

3. Vẽ đồ thị:

Bài 2: 

Ta có: \(\dfrac{-\text{Δ}}{4a}=-3\)

\(\Leftrightarrow-\text{Δ}=-12a\)

\(\Leftrightarrow b^2-4a=12a\)

\(\Leftrightarrow b^2-16a=0\left(1\right)\)

Thay x=-1 và y=6 vào (P), ta được:

\(a\cdot\left(-1\right)^2+b\left(-1\right)+1=6\)

\(\Leftrightarrow a-b=5\)

\(\Leftrightarrow a=b+5\)(2)

Thay (2) vào (1), ta được:

\(b^2-16\left(b+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow b^2-16b+64-144=0\)

\(\Leftrightarrow\left(b-8\right)^2=144\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=20\\b=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=25\\a=1\end{matrix}\right.\)

a) Ta có

y' = (a - 1) x 2  + 2ax + 3a - 2.

Với a = 1, y' = 2x + 1 đổi dấu khi x đi qua -1/2. Hàm số không đồng biến.

Với a ≠ 1 thì với mọi x mà tại đó y' ≥ 0

(y' = 0 chỉ tại x = -2, khi a = 2).

Vậy với a ≥ 2 hàm số luôn đồng biến

b) Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt. Ta có

y = 0 có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình

(a - 1) x 2  + 3ax + 9a - 6 = 0

Có hai nghiệm phân biệt khác 0. Muốn vậy, ta phải có

Giải hệ trên, ta được:

c) Khi a = 3/2 thì

y' = 0 ⇔  x 2  + 6x + 5 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = -5.

Đồ thị như trên Hình 1.18

Vì

nên từ đồ thị (C) ta suy ngay ra đồ thị của hàm số

như trên Hình 1.19

a) Thay x=1 và y=2 vào (P), ta được:

\(a\cdot1^2=2\)

hay a=2

Khi m = 2 : y = x + 5

TXĐ : D = R.

Tính biến thiên :

bảng biến thiên :

Bảng giá trị :

Đồ thị hàm số y = x + 5 là đường thẳng đi qua hai điểm A(0, 5) và B(-5; 0).

b/(d_m) đi qua điểm A(4, -1) :

4 = (m -1)(-1) +2m +1

<=> m = 2

3. hàm số nghịch biến khi : a = m – 1 < 0 <=> m < 1

4.(d_m) đi qua điểm  cố định M(x₀, y₀) :

Ta được  : y₀ = (m -1)( x₀) +2m +1 luôn đúng mọi m.

<=> (x₀ + 2) m = y₀ – 1 + x₀(*)

(*) luôn đúng mọi m khi :

x₀ + 2= 0 và  y₀ – 1  + x₀ = 0

<=> x₀ =- 2  và  y₀ = 3

Vậy : điểm  cố định M(-2, 3)

Theo đề, ta có: c=4

Theo đề, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{b}{2a}=1\\-\dfrac{b^2}{16a}=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-2a\\4a^2+80a=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-20\\b=40\end{matrix}\right.\)

a) y = x 3  − (m + 4) x 2  − 4x + m

⇔ ( x 2  − 1)m + y − x 3  + 4 x 2  + 4x = 0

Đồ thị của hàm số (1) luôn luôn đi qua điểm A(x; y) với mọi m khi (x; y) là nghiệm của hệ phương trình:

Giải hệ, ta được hai nghiệm:

Vậy đồ thị của hàm số luôn luôn đi qua hai điểm (1; -7) và (-1; -1).

b) y′ = 3 x 2  − 2(m + 4)x – 4

Δ′ = ( m + 4 ) 2  + 12

Vì Δ’ > 0 với mọi m nên y’ = 0 luôn luôn có hai nghiệm phân biệt (và đổi dấu khi qua hai nghiệm đó). Từ đó suy ra đồ thị của (1) luôn luôn có cực trị.

c) Học sinh tự giải.

d) Với m = 0 ta có: y = x 3  – 4 x 2  – 4x.

Đường thẳng y = kx sẽ cắt (C) tại ba điểm phân biệt nếu phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:  x 3  – 4 x 2  – 4x = kx.

Hay phương trình  x 2  – 4x – (4 + k) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức là: